membuata bata merah

aljabar elementer

ELEMEN KOMPOSIT DAN PRIMA
Misal (D,  , ●) adalah ID
a D, a  I

Unit dari D? Pembagi
Asosiasi dari a? dari a
b = integer (bilangan bulat)
b a
Jadi b | a (pembagi tidak sejati)
Elemen komposit adalah punya pembagi sejati
Contoh :8                       1
  2
   4
   8
Keterangan: 1 adalah interval 2 dan 4 adalah pembagi sejati 8 adalahpembagitidaksejati.
Maka 8 dikatakan elemen komposit karena punya pembagi sejati yaitu 2 dan 4.
Eleman Prima adalah tidak punya pembagi sejati
Contoh: 7 1
7
Keterangan: 1 adalah interval, 7 adalah pembagi tidak sejati.
Maka 7 dikatakan elemen prima karena tidak punya pembagi sejati.
a prima
dimana ,  adalah satu dan unit
Elemen Co-Prima

(a,b)= I (Elemen Identitas di D)
Bilangan bukan  Gussian
5 adalah komposit (bukan prima)
Karena: 5 memiliki pembagi 1 dan 5 serta (1+2i) dan (1-2i)
Jadipembagisejati 5 adalah (1+2i) dan (1-2i)
(1+I) adalah prima jika

(1-I)=(a+Ib)(c+Id)(1-I)=(a-Ib)(c-Id)
(1-I) =  (a-Ib)(c-Id)
2= (a2+b2) (c2+d2)
Begitujuga  (a2+b2) =2 atau   (a2+b2) =1
Sekarang dalam kasus  (a2+b2) =2 memberikan (c2+d2) =1dan oleh karena itu (c+Id)(c-Id)=1
Yang mana artinya bahwa (c+Id) adalah unit
Demikian (1+I)=(a+Ib)(c+Id)
Demikian juga (a+Ib) atau (c+d) adalah unit
Karenanya (1+I) adalah prima
Di domain I  semua bilangan bulat positif, semua bilangan bulat prima adalah elemen prima pada I dua-duanya bukan nol bilangan bulat adalah komposit

DAERAH FAKTORISASI TUNGGAL
(D,  , ●) (Daerah Faktorisasi Tunggal)
a D
a I
a D
a I






a, b  Z
a x b =0 a=0 V b=0
(z, +, x)apakah ID?


Iya, (z, +, x) adalah ID
2 = 0; 2 D
Apakah 2 unit? (tidak)
Unit :1 dan -1
5 = 5 x 1
6 = 3 x 2
8 = 2 .2 . 2
18 = 2 . 3 .3

Teorema I : ( D,   , •) adalah ID
Daerah Faktorisasi Tunggal
a, b  D, a ≠ I, b ≠ I
p D, p = elemen prima
p / a • b           p / a atau
p / b
p / a • b
p / a
Bukti : a = p1• p2 •…•pr
b = q1• q2 •…•qs
p, q adalah elemen prima
a = pi ; i = 1, 2, … , r
b = qi ; i = 1, 2, … , s
a • b = p1• p2 • … • pr • q1 • q2 • … • qs
p1 / a • b  p1 / p1 • p2 • … • pr      p / a
p2 / a • b  p2 / p1• p2 •…•pr     p / a
     
pr / a • b   p2 / p1• p2 •…•pr     p / a

TeoremaII :( D,   , •) adalah ID
PID (integral domain)
D = < p >      Daerah Faktorisasi Tunggal
Bisa prima ataubukan prima
bukti a  D
a = pk = p • p • … • p
k
a ≠ I ; a adalah elemen prima

anriil 2 (TeoremaBolzanaWeierstrass)

TeoremaBolzanaWeierstrass

3.4.7. TeoremaBolzana-WeierstrassSetiapbarisanterbatasmempunyaisubbarisankonvergen.

Bukti 1:MengikutiTeoremaSubbarisanMonoton, makabarisanterbatas X = ( ) adalahbarisanterbatas yang mempunyaisubbarisan X’ = ( ) monoton. Subbarisan ini pun jugaterbatas, sehinggamenururtTeoremaKonvergensiMonoton X’ = ( ) adalahkonvergen.

Bukti 2:Misalkan, barisan  adalah terbatas, denganinterval :=[a,b]. kitaambil :=1

Membagi kedalamduasamadengan subinterval yaitu dan danmembagihimpunanpadaindeks kedalamduabagian:  ,                                   ,

Jika adalahtidakterbatas, ambil dan adalah natural terkecildi . (liha 1.2.1). jika adalahhimpunanterbatas, kemudian menjaditakterbatas, ambil dan  adalah natural terkecil di .

Seperti yang diketahuibahwaMembagi  kedalam dua sama dengan subinterval yaitu  dan  dan membagihimpunanpadaindeks  kedalam dua bagian:

,                                  ,

Jika  adalah tidak terbatas, ambil dan  adalah naturalterkecildi . Jika  adalah himpunanterbatas, kemudian menjadi tak terbatas, ambil dan  adalah natural terkecildi .Begitujugaseterusnyadengancara yang samaakandidapatpada interval dansubbarisan )pa da X sepert untuk . Untuk  adalah sama dengan , ikutiteorema 2.5.3 iniadalatitik yang unikuntuk . selainitukarena dan keduanyatermasukdalam , maka kita punya

daripenjelasandiatasmakasubbarisan pada X konverrgenpada

Theorem diatas yang disebutdengan Bolzano-Weierstrassuntukbarisan. Dari sinimudahdilihatbahwabarisanterbatasdapatmempunyaibeberapasubbarisan yang konvergenke limit yang berbeda, sebagaicontoh, barisan mempunyaisubbarisan yang konvergen ke -1, dan subbarisan yang lain konvergenke +1.Barisaninijugamempunyaisubbarisan yang tidakkonvergen. misalkan X’ subbarisandaribarisan X. MakaX’ sendirijugamerupakanbarisan, yang jugadapatmempunyaisubbarisan, katakan X ”. Di sinidapatkitacatatbahawa X” jugamerupakansubbarisandari X.

3.4.8. TeoremaMisalkan X= merupakanbarisanterbatasdan x ∈R yang mempunyaisifatbahwasetiapsubbarisankonvergendari X limitnyaadalahx. Makabarisan X konvergenkex.

Bukti:Misalkan M > 0, sehingga untuksemua n ∈N. Andaikan X tidakkonvergenke x. MenurutKriteriaDivergensi 3.4.4 terdapat dansubbarisan X’ = )  dariX sehingga          untuksemua k∈N. 

Karena X’ subbarisandari X, maka X’ jugaterbatasoleh M. Dari sini, menurutTeorema Bolzano-Weierstrassbahwa X’ mempunyaisubbarisan X” yang konvergen. Tetapi X” jugamerupakansubbarisandari X, karenanyaharuskonvergenke x, menuruthipotesis. Akibatnyapadaakhirnya X” terletakdi dalam lingkungan-ε0 dari x. Karenasetiapsukudari X” jugamerupakansukudari X’, halinimembawakitakesuatu yang kontradiksidengan untuksemua k∈N. 

3.4.9. Teorema. Misalkan barisan terbatas dari bilangan riil dan xR yang mempunyai sifat bahwa setiap sub-barisan konvergen dari X yaitu menuju x (limitnya adalah x). Maka barisan X konvergen ke x.

BuktiMisalkan M > 0 adalah batas barisan X, sehingga    untuk semua nN. Andaikan X tidak konvergen ke x, maka menurut Kriteria Divergensi 3.4.4 terdapat ₀  > 0 dan subbarisan  dari X sehingga

, untuk semua kN.                          (1)

Karena X’ subbarisan dari X, maka X’ juga terbatas oleh M. Dari sini, menurut Teorema Bolzano-Weierstrass bahwa X’ mempunyai subbarisan X” yang konvergen. Tetapi X” juga merupakan subbarisan dari X, karenanya harus konvergen ke x, menurut hipotesis. Akibatnya pada akhirnya X” terletak di dalam lingkungan-₀ dari x.

Karena setiap suku dari X” juga merupakan suku dari X’, hal ini membawa kita ke suatu yang kontradiksi dengan 