TeoremaBolzanaWeierstrass
3.4.7.
TeoremaBolzana-WeierstrassSetiapbarisanterbatasmempunyaisubbarisankonvergen.
Bukti 1:MengikutiTeoremaSubbarisanMonoton,
makabarisanterbatas X = (
) adalahbarisanterbatas yang
mempunyaisubbarisan X’ = (
) monoton. Subbarisan ini pun
jugaterbatas, sehinggamenururtTeoremaKonvergensiMonoton X’ = (
) adalahkonvergen.
Bukti 2:Misalkan, barisan
adalah terbatas, denganinterval
:=[a,b]. kitaambil
:=1
Membagi
kedalamduasamadengan subinterval yaitu
dan
danmembagihimpunanpadaindeks
kedalamduabagian:
,
,
Jika
adalahtidakterbatas,
ambil
dan
adalah natural
terkecildi
. (liha 1.2.1). jika
adalahhimpunanterbatas,
kemudian
menjaditakterbatas,
ambil
dan
adalah natural terkecil di
.
Seperti
yang diketahuibahwaMembagi
kedalam dua sama dengan subinterval yaitu
dan
dan membagihimpunanpadaindeks
kedalam dua bagian:
Jika
adalah tidak terbatas, ambil
dan
adalah naturalterkecildi
. Jika
adalah himpunanterbatas, kemudian
menjadi tak terbatas,
ambil
dan
adalah natural terkecildi
.Begitujugaseterusnyadengancara
yang samaakandidapatpada interval
dansubbarisan
)pa da X sepert
untuk
. Untuk
adalah sama dengan
, ikutiteorema 2.5.3
iniadalatitik yang unikuntuk
. selainitukarena
dan
keduanyatermasukdalam
, maka kita punya
daripenjelasandiatasmakasubbarisan
pada X konverrgenpada
Theorem diatas yang disebutdengan Bolzano-Weierstrassuntukbarisan. Dari sinimudahdilihatbahwabarisanterbatasdapatmempunyaibeberapasubbarisan
yang konvergenke limit yang berbeda, sebagaicontoh, barisan
mempunyaisubbarisan yang konvergen ke -1,
dan subbarisan yang lain konvergenke +1.Barisaninijugamempunyaisubbarisan yang
tidakkonvergen. misalkan X’ subbarisandaribarisan X. MakaX’
sendirijugamerupakanbarisan, yang jugadapatmempunyaisubbarisan, katakan X ”. Di
sinidapatkitacatatbahawa X” jugamerupakansubbarisandari X.
3.4.8.
TeoremaMisalkan X=
merupakanbarisanterbatasdan x ∈R yang mempunyaisifatbahwasetiapsubbarisankonvergendari X
limitnyaadalahx. Makabarisan X konvergenkex.
Bukti:Misalkan M > 0, sehingga
untuksemua n ∈N. Andaikan X tidakkonvergenke x.
MenurutKriteriaDivergensi 3.4.4 terdapat
dansubbarisan X’ =
)
dariX sehingga
untuksemua k∈N.
Karena X’
subbarisandari X, maka X’ jugaterbatasoleh M. Dari sini, menurutTeorema
Bolzano-Weierstrassbahwa X’ mempunyaisubbarisan X” yang konvergen. Tetapi X”
jugamerupakansubbarisandari X, karenanyaharuskonvergenke x, menuruthipotesis.
Akibatnyapadaakhirnya X” terletakdi dalam lingkungan-ε0 dari x.
Karenasetiapsukudari X” jugamerupakansukudari X’, halinimembawakitakesuatu yang
kontradiksidengan
untuksemua k∈N.
3.4.9. Teorema. Misalkan
barisan terbatas dari bilangan riil dan xR yang mempunyai sifat bahwa setiap sub-barisan konvergen dari X yaitu
menuju x (limitnya adalah x). Maka barisan X konvergen ke x.
BuktiMisalkan M > 0 adalah batas barisan X, sehingga
untuk semua nN. Andaikan X tidak konvergen ke x, maka menurut Kriteria Divergensi
3.4.4 terdapat 0 > 0 dan subbarisan
dari X sehingga
Karena X’ subbarisan dari X, maka X’ juga terbatas oleh M. Dari sini,
menurut Teorema Bolzano-Weierstrass bahwa X’ mempunyai subbarisan X” yang
konvergen. Tetapi X” juga merupakan subbarisan dari X, karenanya harus
konvergen ke x, menurut hipotesis. Akibatnya pada akhirnya X” terletak di dalam
lingkungan-0 dari x.
Karena setiap suku dari X” juga merupakan suku dari X’, hal ini membawa
kita ke suatu yang kontradiksi dengan
