anriil 2(awal)

3BARISAN BILANGAN REAL

3.1. Barisan dan Limit Barisan

Di sini diharapkan pembaca mengingat kembali bahwa yang dimaksud dengan suatu barisan pada suatu himpunan S adalah suatu fungsi pada himpunan N = {1, 2, 3,...} dengan daerah hasilnya di S. Selanjutnya dalam bab ini kita hanya memperhatikan barisan di R.

3.1.1. Definisi. Suatu barisan bilangan real (atau suatu barisan di R) adalah suatu fungsi pada himpunan N dengan daerah hasil yang termuat di R.

Dengan kata lain, suatu barisan di R memasangkan masing-masing bilangan asli n = 1, 2, 3, ... secara tunggal dengan bilangan real. Bilangan real yang diperoleh tersebut disebut elemen, atau nilai, atau suku dari barisan tersebut. Hal yang biasa untuk menuliskan elemen dari R yang berpasangan dengan n  N, dengan suatu simbol seperti xn  (atau an, atau zn). Jadi bila X : N R suatu barisan, kita akan biasa menuliskan nilai X di n dengan Xn, dari pada X(n), kita akan menuliskan barisan ini

dengan notasi                                 X,                  Xn,                 (Xn : n    N),

Kita menggunakan kurung untuk menyatakan bahwa urutan yang diwarisi dari N adalah hal yang penting. Jadi, kita membedakan penulisan X = (Xn  : n  N), yang suku-sukunya mempunyai urutan dan himpunan nilai-nilai dari barisan tersebut { Xn : n  N} yang urutannya tidak diperhatikan. Sebagai contoh, barisan X = ((-1)n : n  N)
yang berganti-ganti -1 dan 1, sedangkan himpunan nilai barisan tersebut { (-1)n: n  N }  sama dengan {-1, 1}.

  Dalam  mendefinisikan barisan sering lebih  mudah dengan menulis secara berurutan  suku-sukunya,  dan  berhenti  setelah  aturan formasinya kelihatan. Jadi kita boleh menulis  X = (2, 4, 6, 8, ...)untuk barisan bilangan genap positif,
atau                           untuk barisan kebalikan dari bilangan asli,
atau                            untuk barisan kebalikan dari kuadrat bilangan asli.

Metode yang lebih memuaskan adalah degan menuliskan formula untuk suku umum dari barisan tersebut, seperti

X = (2n : n  N),                       

Dalam prakteknya, sering lebih mudah dengan menentukan nilai x1 dan suatu formula untuk mendapatkan xn + 1  (n    1) bila xn diketahui dan formula xn+1 (n    1) dari x1, x2, ... xn. Metode ini kita katakan sebagai pendefinisian barisan secara induktif atau rekursif. Dengan cara ini, barisan bilangan bulat positif X di atas dapat kita de- finisikan dengan               x1 = 2              xn+1 = xn + 2   (n    1);
atau dengan definisi           x1 = 2              xn+1 = x1 + xn   (n    1).

Catatan : Barisan yang diberikan dengan proses induktif sering muncul di ilmu komputer, Khusus- nya, barisan yang didefinisikan dengan suatu proses induktif dalam bentuk x1 = diberikan, xn+1 = f(xn) untuk n  N dapat dipertanggungjawabkan untuk dipelajari dengan menggunakan komputer. Barisan yang didefinisikan dengan proses : y1 = diberikan, yn = .gn(y1,y2, ... ,yn) untuk n  N juga dapat dikerja- kan (secara sama). Tetapi, perhitungan dari suku-suku barisan demikian menjadi susah untuk n yang besar, karena kita harus menyimpan masing-masing nilai y1, ..., yn dalam urutan untuk menghitung yn+1.

3.1.2.      Contoh-contoh.

(a)    Bila b ϵ R, barisan B = (b, b, b, ...), yang sukunya tetap b, disebut barisan konstan b.. Jadi barisan konstan 1 adalah (1,1,1,...) semua yang sukunya 1, dan barisan konstan 0 adalah barisan (0,0,0,...).

(b)   Barisan kuadrat bilangan asli adalah barisan S = (1², 2², 3², ...) = (n² : n ϵ N), yang tentu saja sama dengan barisan (1, 4, 9, ..., n², ...).

(c)    Bila a ϵ R, maka barisan A = (aⁿ : n ϵ N) adalah barisan (a₁, a₂, a₃,..., a_n,...).
Khususnya bila a =  , maka kitaperoleh barisan

           

(d)   Barisan Fibonacci F =  diberikan secara induktif sebagai berikut :

  , ,                             (n ≥ 2)
Maka sepuluh suku pertama barisan fibonacci dapat dilihat sebagai F = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...) Sekarang akan kita kenalkan cara-cara penting dalam menglonstruksi barisan baru dari barisan-barisan yang diberikan.

3.1.3.      Definisi. Bila X = (x_n) danY = (y_n) barisan bilangan real, kita definisikan jumlah X+Y= (x_n + y_n : n ϵ N), selisih X-Y = (x_n – y_n : n  ϵ N), dan hasil kali XY = (x_ny_n : n  ϵ N). Bila c ϵ R, kita definisikan hasil kali X dengan c yaitu cX = (cx_n : n  ϵ N). Akhirnya, bila Z = (z_n) suatu barisan dengan z_n ≠ 0 untuk semua n ϵ N, maka hasil bagi X oleh Z adalah X/Z = (x_n/z_n : n  ϵ N).

Sebagai contoh, bila X dan Y berturut-turut adalah barisan-barisan

      X = (2, 4, 6, ..., 2n, ...),            Y = ,

Maka kita mempunyai

      X + Y =

      X – Y = ,

      XY = (2, 2, 2, ..., 2, ...),

      3X = (6, 12, 18, ..., 6n, ...),

       = (2, 8, 18, ..., , ...)

Kita catat bahwa bila z menyatakan barisan

      Z = (0, 2, 0, ..., 1 + (-1)ⁿ, ...),

Maka kita dapat mendefinisikan X + Z, X - Z, dan X.Z; tetapi tidak dengan X/Z, karena Z mempunyai suku 0.

Limit suatu barisan

Terdapat beberapa konsep limit dalam analisa real. Pemikiran limit barisan merupakan yang paling mendasar dan merupakan fokus kita dalam bab ini.

3.1.4. Definisi. Misalkan X = (xn) barisan bilangan real. Suatu bilangan real x dikata- kan limit dari (xn), bila untuk setiap    > 0 terdapat bilangan asli K( ), sedemikian se- hingga untuk semua n    K( ), suku-suku xn terletak dalam lingkungan-  , V  (x).

Bila x merupakan suatu limit dari barisan tersebut, kita katakan juga bahwa X= (xn) konvergen ke x (atau mempunyai limit x). Bila suatu barisan mempunyai limit, kita katakan barisan tersebut konvergen, bila tidak kita katakan divergen.

Penulisan K( ) digunakan untuk menunjukkan secara eksplisit bahwa pemili- han K bergantung pada  ; namun demikian sering lebih mudah menuliskannya dengan K, dari pada K( ). Dalam banyak hal nilai   yang “kecil” biasanya akan memerlukan nilai K yang “besar” untuk menjamin bahwa xn  terletak di dalam lingkungan V  (x) untuk semua n     K = K( ).

Kita juga dapat mendefinisikan kekonvergenan X = (xn) ke x dengan mengatakan : untuk setiap lingkungan-   V  (x) dari x, semua (kecuali sejumlah hingga) suku- suku dari x terletak di dalam V  (x). Sejumlah hingga suku-suku tersebut mungkin ti- dak terletak di dalam V  (x) yaitu x1, x2, ..., xK( )-1.

Bila suatu barisan x = (xn) mempunyai limit x di R, kita akan menggunakan notasi.                 lim X = x      atau        lim (xn) = x.

Kita juga akan menggunakan simbol n  , yang menyatakan bahwa nilai xn “mendekati” x bila n menuju 0.

3.1.5. Ketunggalan limit. Suatu barisan bilangan real hanya dapat mempunyai satu limit.

Bukti :

Andaikan sebaliknya, yaitu dan keduanya limit dari  = (xn) sedemikian hingga > 0 dimana K adalah _n - ’<  untuk semua n > K’ dan  K” adalah _n - ’’<  untuk semua n > K’’ Sekarang misalkan K’ dan K” bilangan asli sehingga bila n > K pada ketidaksamaan segitiga adalah sebagai berikut :

                  ’ – ’’ ’ - _n _n ”

                             ≤ ’ - _n _n - ” <   c

Jika > 0 adalah bernilai positive maka x’ – x’’ = 0

Jika  dan  maka kembali pada neighborhood dari

    

Jika  adalah ekivalen untuk  definisi konvergen dapan diformulasikan pada syarat neighborhood. Kita berikan beberapa perbedaan untuk persamaan _n konvergen ke  pada teorema berikutnya.

3.1.6. Teorema.Misalkan  = ( _n) barisan bilangan real dan misalkan pula R.

 Maka pernyataan berikut ekivalen.

(a). X konvergen ke x.

(b). untuk setiap lingkungan-V( ), terdapat bilangan asli K() sehingga untuk semua

      n K(), suku-suku _nV( ).

(c). untuk setiap > 0, terdapat bilangan asli K() sehingga untuk semua n K(),

      suku-suku xn memenuhi  _n  - <.

(d). untuk setiap > 0, terdapat bilangan asli K() sehingga untuk semua n K(),

      suku-suku xn memenuhi  -< _n < + , n K()

Bukti :

Ekivalensi dari (a) dan (b) merupakan definisi. Sedangkan ekivalensi dari (b), (c), dan

(d) mengikuti implikasi berikut :

_nV(x)  _n - < . -< _n -  < 

  - < _n <  + 

Untuk menunjukkan bahwa suatu barisan  = ( _n) tidak konvergen ke x, cukup dengan memilih ₀ > 0 sehingga berapapun nilai K yang diambil, diperoleh suatu nk > K sehingga _n k tidak terletak dalam V( ).

Catatan : Definisi limit barisan bilangan real digunakan untuk membuktikan bahwa nilai x yang telah ditetapkan merupakan limit. Hal ini tidak menentukan berapa nilai limit seharusnya. Sehingga diperlukan latihan untuk sampai kepada dugaan (conjecture) nilai limit dengan perhitungan langsung suku-suku barisan tersebut. Dalam hal ini komputer akan sangat membantu. Namun demikian karena komputer hanya dapat menghitung sampai sejumlah hingga suku barisan, maka perhitungan demikian bukanlah bukti.3.1.7. Contoh-contoh

a.  

Misalkan diberikan sebarang  > 0. Maka menurut sifat Archimedes terdapat KN sehingga sehingga . Akibatnya untuk semua n  K dipenuhi

 

Ini membuktikan

b.  

Bila diberikan sebarang  > 0, maka terdapat KN, sehingga . Karena itu untuk semua n   K dipenuhi

c.  Barisan tidak konvergen ke 0.

Pilih ₀ = 1, sehingga untuk sebarang KN, jika n  K dan n bilangan ganjil, maka

|x_n – 0| = |2 – 0| = 2 > 1.

Ini mengatakan bahwa barisan tidak konvergen ke 0.

d.

Perhatikan persamaan berikut

Bila diberikan sebarang , maka terdapat KN, K>1, sehingga . Akibatnya untuk semua n K > 1 dipenuhi

Ini membuktikan bahwa

Ekor Barisan

Perlu dimengerti bahwa kekonvergenan (atau kedivergenan) suatu barisan ber-gantung hanya pada prilaku suku-suku “ terakhirnya”. Artinya, bila kita hilangkan m suku pertama suatu barisan yang menghasilkan X_m konvergen jika hanya jika barisan asalnya juga konvergen, dalam hal ini limitnya sama.

3.1.8. Definisi. Bila suatu barisan bilangan real dan m selalu bilangan asli maka ekor-m dari X adalah barisan

Sebagai contoh, ekor-3 dari barisan adalah barisan

3.1.9. Teorema. Misalkan suatu barisan bilangan real dan . Maka ekor-m adalah dari X konvergen jika dan hanya jika X konvergen, dalam hal ini,  

Bukti :Dapat kita catat untuk sebarang , suku ke-p dari merupakan suku ke dari . Secara sama bila , maka suku ke-q dari merupakan suku ke- dari .

Misalkan konvergen ke . Maka untuk sebarang  > 0, bila untuk  suku-suku dari X memenuhi , maka suku-suku dari dengan memenuhi . Jadi kita dapat memilih , sehingga juga konvergen ke .

Sebaliknya, bila suku-suku dari  untuk memenuhi  maka suku-suku dari X dengan memenuhi . Jadi kita dapat memilih . Karena itu,  konvergen ke  jika dan hanya jika konvergen ke .

3.1.10 Teorema. Misalkan  dan  barisan bilangan real dan . Jika untuk  dan , maka mempunyai             untuk setiap , dan
maka

Bukti: Jika diberikan   , Karena , maka terdapat bilangan asli  sehingga jika  maka          
maka hal ini mengakibatkan jika  dan , maka         
 Karena sebarang , diperoleh kesimpulan .

3.1.11 Contoh-contoh

(a)   Jika , maka

Karena , maka  oleh karena itu,  , dengan demikian kita mempunyai       untuk semua

Karena , menurut Teorema 3.1.10 dengan  dan  diperoleh bahwa         

(b)   Jika , maka

Limit ini sudah terdapat dalam contoh 3.1.6 (d). kita akan memberikan bukti kedua dengan ilustrasi menggunakan ketaksamaan Bernoulli (lihat contoh 2.1.13 (c)).

Karena , kita dapat menuliskan  , di mana  sehingga . Dengan ketaksamaan Bernoulli, kita mempunyai . Selanjutnya      

Sehingga dengan menggunakan Teorema 3.1.10, diperoleh Faktanya, jika , maka , dan jika kita berikan , kemudian ketaksamaan diawal kita berikan . Dibandingkan dengan contoh 3.1.6 (d), di mana kita memperoleh , dapat kita lihat metode estimasi ini tidak memberikan nilai terbaik dari . Bagaimanapun maksud dari limit ini, nilai  tidak penting.

(a)   Jika , maka

Untuk kasus  itu mudah, karena  merupakan barisan konstan  yang jelas konvergen ke 1.

Jika , maka untuk suatu . Dengan menggunakan ketaksamaan Bernoulli 2.1.13 (c),

 untuk

Oleh karena itu kita mempunyai , sehingga . Akibatnya

  untuk 

Dengan menggunakan Teorema 3.1.10 diperoleh  ketika .

Sedangkan apabila ; maka  untuk suatu . Dengan menggunakan ketaksamaan Bernoulli diperoleh        

Yang diikuti oleh  untuk . Oleh karena itu kita mempunyai

Sehingga           untuk

Dengan menggunakan Teorema 3.1.10 diperoleh  ketika .

(b)  

Karena untuk , dapat kita tulis  untuk suatu  ketika . Akibatnya  untuk . Dengan Teorema Binomial, jika  kita mempunyai

Yang diikuti oleh                    

Dari sini  untuk . Jika diberikan , maka menurut sifatArchimedes terdapat bilangan asli  sedemikian hingga . Hal ini akan diikuti oleh jika  maka , karenanya                              Karena  sebarang, maka .