anriil 2 (kedua) teorema-torema limit

3.2. Teorema-teorema Limit

Dalam bagian ini kita akan memperoleh beberapa hal yang memungkinkan kita mengevaluasi limit dari barisan bilangan real yang tertentu. Hasil ini memung- kinkan kita menambah koleksi barisan konvergen.

3.2.1. Definisi. Barisan bilangan real X = (xn) dikatakan terbatas bila terdapat bilangan real sehingga ; untuk semua .

Jadi barisan  terbatas jika dan hanya jika himpunan  terbatas di ,

3.2.2. Teorema. Suatu barisan bilangan real yang konvergen tarbatas.

Misalkan  dan  . Dengan menggunakan teorema 3.1.6(c), terdapat bilangan asli  sehingga bila maka . Dari sini, dengan menggunakan akibat 2.3.4(a) tentang ketaksamaan segitiga, bila , maka    . Dengan menetapkan  

Maka diperoleh  untuk semua

Dalam definisi 3.1.3 kita telah mendefinisikan jumlah, selisih, hasil kali dan pembagian  barisan bilangan  real.  Kita  sekarang  akan menunjukkan  bahwa  barisan yang diperoleh dengan cara demikian dari barisan-barisan konvergen, mengakibatkan limit barisan barunya dapat diprediksi.

3.2.3. Teorema.

a.      Misalkan X = (x_n) dan Y = (y_n) barisan bilangan real yang berturut-turut konvergen ke x dan y, serta c  R. Maka barisan X + Y, X - Y, X . Y dan cX berturutturut konvergen ke x + y, x - y, xy dan cx.

b.      Bila X = (x_n) konvergen ke x dan Z = (z_n) barisan tak nol yang konvergen ke z, dan z ≠ 0, maka barisan X/Z konvergen ke x/z.

Bukti :

a)      Untuk membuktikan lim (x_n + y_n) = x + y kita akan menaksir

| (x_n + y_n) - (x + y) | = | (x_n + x) + (y_n + y) |

                                 ≤ |x_n – x| + |y_n – y|.

Dari hipotesis, untuk sebarang  > 0 terdapat K  N sehingga bila n ≥ K1, maka

 |x_n – x| < , juga terdapat K₂  N sehingga bila n ≥ K2, maka  |x_n – x| < . Bila K( ) = sup{K₁, K₂}, maka untuk semua n ≥ K( )                       

Karena   > 0 sebarang, kita peroleh bahwa X + Y = (x_n + y_n) konvergen ke x + y. Argumen serupa dapat digunakan untuk membuktikan bahwa X - Y = (x_n - y_n) konvergen ke x - y.

Untuk membuktikan bahwa XY = (x_ny_n) konvergen ke xy, kita akan mengestimasi

Menurut Teorema 3.2. terdapat bilangan real M₁ > 0 sehingga |x_n| ≤ M₁untuk semua n N dan tetapkan M = sup{M , |y|}. Selanjutnya kita mempunyai

|x_ny_n - xy| ≤ M|y_n - y| + M|x_n - x|

Dari kekonvergenan X dan Y, bila diberikan sebarang  > 0, maka terdapat K₁, K₂, N sehingga bila n ≥ K₁ maka , dan bila n ≥ K2 maka .

Sekarang tetapkan K( ) = sup {K₁, K₂}, maka untuk semua n ≥ K( ) diperoleh

Karena  > 0 sebarang, hal ini membuktikan bahwa barisan XY = (x_ny_n) konvergen ke xy.

Bukti untuk barisan cX= (cx_n) konvergen ke cx ditinggalkan sebagai latihan.

b)      Berikutnya kita akan menunjukkan bila Z = (z_n) barisan tak nol yang konvergen ke z, maka barisan konvergen ke  (karena z 0). Pertama misalkan =  maka > 0. Karena lim (z_n) = z, maka terdapat K₁  N, sehingga bila n ≥ K₁ maka |z_n – z| < . Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga diperoleh – ≤ -|z_n - z| ≤ |z_n| - |z| untuk n ≥ K₁. Karena itu  untuk n ≥ K₁, jadi kita mempunyai

Sekarang kita berikan  > 0, mak terdapat K₂  N sehingga bila n  K₂ maka

untuk semua n > K( ).

Karena  > 0 sebarang, jadi lim .

Dengan mendefinisikan Y barisan  dalam menggunakan XY =  konvergen ke . bukti (b) telah selesai.

Beberapa hasil Teorema 3.2.3 dapat diperluas, dengan induksi matematika, untuk sejumlah hingga barisan konvergen. Sebagai contoh, bila A = (a_n), B = (b_n), ..., Z = (z_n) barisan konvergen, maka jumlahnya A + B + ... + Z = ( a_n + b_n + ... + z_n) juga merupakan barisan konvergen dan

1)      lim(a_n + b_n + ... + z_n) = lim(a_n) + lim(b_n) + ... + lim(z_n)

Hasil kalinya juga konvergen dan

2)      lim (a_nb_n ...z_n) = [lim(a_n)][lim(b_n)] ... lim(z_n)

Dan bila b  N dan A = (a_n) barisan konvergen, maka

3)      lim (a_n^k) = m(a_n)]^k.

Buktinya ditingggalkan sebagai latihan.

3.2.4. Teorema. Bila X = (x_n) barisankonvergendanx_n≥ 0, untuksemuan∈N, maka

            x = lim (x_n) ≥ 0.

Bukti :Andaikan x < 0, pilih z = - x > 0. Karena X konvergenke x, makaterdapat K∈N, sehingga  x - ε<x_n< + εuntuksemua  n ≥Κ. Khususnya, kitamempunyaix_K< x + z = x + (-x) = 0. Hal inikontradiksidenganhipotesisbahwax_n≥ 0 untuksemuan∈N. Jadiharuslahx  ≥ 0.

3.2.5 Teorema. Bila X = (x_n) dan Y = (y_n) barisankonvergendanx_n≤y_nuntuksemuan∈N, makalim (x_n) ≤lim (y_n).

Bukti :Misalkanz_n = y_n - x_nsehingga Z = (z_n) = Y - X danz_n≥ 0 untuksemuan∈N.

Dari teorema 3.2.4 dan 3.2.3 diperoleh 0 ≤lim Z = lim (y_n) - lim (x_n).

Jadilim (x_n) ≤lim (y_n).

Yang berikutmengatakanbahwabilasemuasukudaribarisankonvergenmemenuhiketaksamaana≤x_n≤b, makalimitnyamemnuhiketaksamaan yang sama.

3.2.6. Teorema.Bila x = (x_n) suatubarisankonvergendana≤x_n≤buntuksemuan∈N, makaa≤lim (x_n) ≤b.

Bukti :Misalkan Y barisankonstan (b, b, b, ...). Dari Teorema 3.2.5 diperolehlim X ≤lim Y = b. Secarasamadapatditunjukkanbahwaa≤lim X. Sedangkan yang berikutmenyatakanbahwabilabarisan Y diapitolehduabarisankonvergen yang limitnyasama, makabarisan y tersebutjugakonvergenke limit darikeduabarisan yang mengapitnya.

3.2.7. TeoremaApit. Misalkanbahwa X = (x_n), Y = (y_n), dan Z = (z_n) barisan yang memenuhi x_n ≤ y_n ≤ z_n untuksemua n∈N, dan lim (x_n) = lim (z_n) maka (y_n) konvergendanlim (x_n) = lim (y_n) = lim (x_n).

Bukti Misalkan w = lim (x_n) = lim (z_n). Bila ε> 0 diberikan, makakarena X dan Z

konvergenke w, terdapat K∈Nsehinggauntuksemuan∈Ndengan n ≥ K dipenuhi

dan

Dari hipotesisdiperolehbahwa x_n-w , untuksemuan∈N, yang diikutioleh (mengapa ?)

 utuk semua n ≥ K. Karenaε> 0 sebarang, jadilim (y_n) = w.

Catatan :Karenasebarangekorbarisanmempunyai limit yang sama, hipotesisdari 3.2.4, 3.2.5,

3.2.6, dan 3.2.7 dapatdiperlemahdenganmenerapkannyapadaekorbarisan. Sebagaicontoh, padaTeorema 3.2.4, bila X = (x_n) pada “akhirnyapositif” dalamartibahwaterdapatm∈Nsehinggax_n≥ 0 untuksemuan  ≥ m, makaakandiperolehkesimpulan yang samayaitu n ≥ 0. Modifikasi yang samajugaberlakuuntukTeorema yang lain, yang pembacaperlubuktikan.

3.2.9TeoremajikaurutanX=( ) konvergen kex. Kemudianurutan(| |) darinilai absolutkonvergenuntuk|x|. Artinya, jikax=lim( ), maka|x|=Lim(| |).

BuktiIni mengikuti dariTriangle Inequality (lihatCorollary2.2.4(a)) bahwa

≤ untuk semua  n N.

Konvergen(| |) ke |x|adalah konsekuensilangsung darikonvergen( ) kex.

3.2.10TeoremaMisalkan X= )menjadiurutan bilangan realyangkonvergen kexdan
misalkan 0. Makaurutan( ) daripositifakar kuadratkonvergendan
lim( ) =

BuktiBerdasarkan Teorema3.2.4bahwax=lim( ) 0sehinggapernyataanmasuk akal.
Kitasekarang mempertimbangkanduakasus: (i) x=0dan(ii) x>0. 

Kasus(i)Jikax=0, maka >0diberikan. Ketika →0terdapatnatural numberK
sehinggajikan>Kmaka

0 →= -0< .

Oleh karena itu[lihat Contoh 2.1.13(a)], 0  untuk n K . Ketika >0 berubah-ubah yang menyiratkan bahwa →0

         Kasus (ii) jika x>0, maka dan kita menuliskan bahwa

-  = =             Ketika  itu mengikuti bahwa                                Konfergen → mengikuti dari fakta bahwa →x

Untuk beberapa jenis urutan, suatu hasil sebagai berikut menyediakan "uji rasio" cepat dan mudah untuk konvergen. Hasil terkait dapat ditemukan dalam latihan.

3.2.11TeoremaMisalkan( ) menjadiurutan bilangan realpositif sehinggaL:=
lim( ) ada.JikaL<1, maka( ) konvergendanlim( ) =0.

Bukti.Pada3.2.4berikut bahwaL 0Misalkanrberupa angkasehinggaL<r <1, dan jika : =r–L>0.AdanomorK Nsepertibahwa jikan Kmaka <           Jika n K, maka    + =L+(r-L) = r

Oleh karena itu, jika n K, kita peroleh                                   0 < < r < < ... <

jika kita letakkan C:= , kita melihat bahwa 0 < <C  untuk n K. Ketika 0 <r <1, hal ini mengikuti dari 3.1.11 (b) bahwa lim ( ) = 0 dan begitu juga dari teorema 3.1.10 bahwa lim ( ) = 0.

            Seperti ilustrasi kegunaan dari teorema terdahulu, mempertimbangkan urutan ( ) yang diberikan oleh . Kita punya                                         .  =

Jadi lim ( ) = . Ketika , itu mengikuti dari teorema 3.2.11 bahwa lim ( ) = 0