anriil 2(barisan monoton)

3.3. Barisan Monoton

 Kini telah ditemukan beberapa metode untuk menunjukkan bahwa barisan X = ( ) konvergen :

(i). Kita dapat menggunakan defenisi 3.1.4. atau Teorema 3.1.6. secara langsung. Tetapi ini sering kali sulit untuk dikerjakan.

     3.1.4. Definisi. Misalkan X = ( ) barisan bilangan real. Suatu bilangan real x dikatakan limit dari ( ), bila untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan asli K(ε), sedemikian sehingga untuk semua n ≥ K(ε), suku-suku  terletak dalam lingkungan-ε, Vε(x).

     3.1.6.  Teorema. Misalkan X = ( ) barisan bilangan real dan misalkan pula x∈R. Maka pernyataan berikut ekivalen.

(a). X konvergen ke x.

(b). untuk setiap lingkungan-ε Vε(x), terdapat bilangan asli K(ε) sehingga untuk semua n ≥ K(ε), suku-suku xn∈Vε(x).

(c). untuk setiap  ε > 0, terdapat bilangan asli K(ε) sehingga untuk semua n ≥ K(ε), suku-suku xn memenuhi <ε.

(d). untuk setiap  ε > 0, terdapat bilangan asli K(ε) sehingga untuk semua n ≥ K(ε), suku-suku xn memenuhi x-ε < < + ε, ∀ n ≥ K(ε)

(ii). Kita dapat mendominasi  dengan perkalian dari suku-suku dalam barisan ( ) yang diketahui konvergen ke 0, kemudian menggunakan Teorema 3.1.10.

3.1.10. Teorema. Misalkan A = (an) dan X = (xn) barisan bilangan real dan x∈R. Bila untuk suatu C > 0 dan suatu m∈N, kita mempunyai ≤ C  untuk semua n∈N dengan n ≥ m, dan lim ( ) = 0, maka lim ( ) =x.

 (iii). Kita dapat mengidentifikasi barisan X diperoleh dari barisan-barisan yang  diketahui konvergennya dari lebar barisannya, kombinasi aljabar, nilai mutlak atau datar dengan menggunakan Teorema 3.1.9, 3.2.3, 3.2.9, atau 3.2.10.

(iv). Kita dapat mengapit X dengan dua barisan yang konvergen ke limit yang sama dengan menggunakan Teorema 3.2.7.3.2.7. Teorema Apit. Misalkan bahwa X = ( ), Y = ( ), dan Z = ( ) barisan yang memenuhi

   ≤  ≤  untuk semua n∈N, dan lim ( ) = lim ( ) maka ( ) konvergen dan lim ( ) = lim ( ) = lim ( ).

(v). Kita dapat menggunakan “Uji rasio” dari Teorema 3.2.4. Kecuali (iii), semua metode ini mengharuskan kita terlebih dahulu mengetahui atau menduga bahwa nilai limitnya yang benar, dan kemudian membuktikan bahwa dugaan kita benar.

Terdapat banyak kasus, dimana sukar menentukan limit suatu barisan, bahkan meskipun dengan analisis dasar diduga barisannya konvergen. Dalam bagian ini dan dua bagian berikutnya, kita akan membahas hasil-hasil yang lebih mendalam dibanding bagian terdahulu yang mana dapat digunakan untuk memperkenalkan konvergensi suatu barisan bila tidak ada kandidat limit yang mudah.

3.3.1 Definisi.Misalkan X = ( ) barisan bilangan real, kita katakan X tak turun bila memenuhi ketaksamaan :

Kita katakan X tak naik bila memenuhi ketaksamaan          

Kita katakan X monoton bila X tak naik, atau tak turun.

Berikut ini barisan-barisan tak turun 

 (1,2,3,4,...,n,...);

 (1,2,2,3,3,3, ...);

 ( , , ,..., ,...)  bila  > 1

Berikut ini barisan-barisan tak naik 

(1, , ,..., ,...),

(1, , ,..., ,...,),

(

Barisan-barisan berikut tak monoton

 (+1, -1, +1, ..., ,...)

(-1, +2, -3, ....., )

Berisan-barisan berikut tak monoton, tetapi pada akhirnya monoton

(7,6,2,1,2,3,4,...),

(-2,0,1, , , ,...)

Teorema 3.3.2 Teorema Konvergen Monoton

            Barisan bilangan real monoton konvergen jika dan hanya jika barisan ini terbatas. Lebih dari itu :

a.       Bila X = (x_n) barisan tak turun yang terbatas, maka lim (x_n) = sup (x_n)

b.      Bila Y = (y_n) barisan tak naik yang terbatas, maka lim (y_n) = inf (y_n)

Bukti :Dari teorema 3.2.2 diketahui bahwa barisan konvergen pasti terbatas.

Dan saat ini, kita akan membuktikan sebaliknya, misalkan X barisan monton yang terbatas, maka X tak turun atau naik.

a.       Pertama, kita misalkan X barisan tak turun dan terbatas. Dari hipotesis terdapat M ϵ R , sehingga R_n ≤ M untuk semua n ϵN. Menurut prinsip supremum terdapat x⁺ = sup {x_n : n ϵN}, kita akan tunjukkan bahwa x⁺ = lim (x_n). Bila  diberikan, maka  bukanlah batas atas dari { }; dari situ terdapat sehingga  . Tetapi karena ( ) tak turun maka hal ini diikuti

untuk semua

Akibatnya

Karena  sebarang , jadi ( ) konvergen ke

b.      Bila Y =  barisan terbatas tak naik, maka jelaslah bahwa X = -Y =( -  barisan terbatas tak turun. Dari (a) diperoleh lim X = sup {- }. Di lain pihak, dengan

Teorema 3.2.3 (a) lim X = - lim Y, sedangkan dari latihan 2.5.4(b), kita mempunyai sup {- }= -inf {-}. Karenanya lim Y = -lim X = inf{- }

Teorema konvergensi monoton memperkenalkan eksistens daji limit dari barisan monoton terbatas. Hal ini juga mrmberikan cara perhitungan limit yang menyajikan kita dapat memperoleh supremum (a), infimum (b). Seringkali sukar untuk mengevaluasi supremum atau infimum, tetapi kita ketahui bahwa hal ini ada, sering pula mengevaluasi limit dengan metode baru.

3.3.3 contoh  (a) .

Merupakan suatu yang mungkin untuk menyelesaikan barisan ini dengan menggunakan teorema 3.2.10; akan tetapi, kita akan menggunakan teorema konvergen monoton.  Sangatlah jelas 0 adalah batas terendah dari himpunan , dan ini tidaklah sulit Oleh karena itu

Di lain pihak, pertama kali kita ketahui bahwa  adalah membatasi dan mengurangi. Kita ketahui bahwa…konvergen untuk beberapa bilangan real x. jadi  konvergen x, dengan mengikuti teorema 3.2.3 bahwa konvergen ke , untuk itu , dimana

(b) diberikan = untuk .

Jadi  , kita lihat bahwa  adalah barisan naik, dari teorema konvergen monoton 3.3.2, pertanyaan barisan konvergen atau tidak adalah reduksi dari pertanyaan barisan terbatas atau tidak.percobaan dengan menggunakan perhitungan numerik secara langsung untuk sampai pada masalah conjektur kemungkinan keterbatasn pada barisan ( ) tidak menjadi permasalahan. Sebuah perhitungan computer akan menyatakan dengan pendekatan nilai untuk n=50,000 dan untuk n=100,000, fakta numerik yang demikian mungkin pasti secara kebetulan yang digunakan peneliti untuk menyimpulkan bahwa bariasan itu terbatas. Akan tetapi barisan itu faktanya adalah divergen, yang di tetapkan dengan catatan

= +…+

+…+

+

Jadi ( ) adalah tidak terbatas, teorema 3.2.2 secara tidak langsung menyatakan bahwa barisan itu adalah divergen.

Terminology  bertambah sangat lambat. Contohnya, dengan itu dapat ditunjukkan bahwa untuk mencapai > 50 akan memerlukan pendekatan 5.2 x  penjumlahan, dan computer normal melakukan penjumlahan 400 juta setiap detik akan memerlukan waktu 400.000 tahun untuk melakukan perhitungan ( sekitar 3,153,600 detik setiap tahun). Sama dengan super computer sehingga dapat melakukan lebih dari satu triliyun penjumlahan setiap detik, akan membutuhkan waktu  lebih dari 164 tahun untuk menjangkau sasaran yang sederhana.

Barisan didefinisikan secara induktif harus membicarakan dengan perbedaan. Jika demikian barisan yang kita ketahui menjadi konvergen, kemudian nilai limit dapat setiap kali di tentukan dengan menggunakan hubungan induktif.

Andaikan itu konvergen telah ditetapkan untuk barisan  didefinisikan sebagai      

Jika kita berikan , kemudian kita hanya mempunyai , jadi satu ekor  konvergen ke limit yang sama. Lebih jauh, kita lihat bahwa , sehingga  untuk semua untuk itu, mungkin kita menggunakan teorena limit untuk mendapatkan barisan                     

Dengan demikian, limit x adalah penyelesaian dari persamaan kuadrat , dan x harus positif, kita menemukan bahwa limit dari barisan adalah .

Sangatlah mungkin, persoalan kekonvergenan harus tidak di abaikan atau asumsi seperti biasa. Contohnya, jika kita asumsikan barisan ) didefinisikan +1 adalah konvergen dengan limit y, kemudian kita akan mendapatkan sehingga . Tentu ini adalah mustahil.

Dengan mengikuti contoh, kita menggunakan metode dari pengevaluasian limit. Tetapi hanya setelah menetapkan secara seksama kekonvergenan menggunakan teorema konvergen monoton, contoh penjumlahan dari tipe ini akan diberikan pada bagian 3.5.

3.3.4 Beberapa Contoh

a.    Misalkan  didefinisikan secara induktif oleh ,  untuk . Kita akan menunjukkan bahwa .

Kalkulasi/perhitungan secara langsung menunjukkan bahwa . Dari sini kita mempunyai . Dengan induksi kita akan tunjukkan bahwa  untuk semua . Hal tersebut adalah benar untuk . Jika berlaku untuk setiap , maka

Dengan demikian . Oleh karena itu  untuk semua .

Sekarang dengan induksi kita akan tunjukkan bahwa  untuk semua , dimana tidak berlaku atau tidak dibuktikan untuk . Anggaplah bahwa  untuk suatu , maka , sehingga

Jadi yang mengakibatkan . Oleh karena itu  untuk semua .

Kita telah menunjukkan bahwa  adalah barisan tak turun dan terbatas di atas oleh . Menurut Teorema Konvergensi Monoton bahwa  konvergen pada suatu limit adalah pada nilai kurang dari atau sama dengan 2. Dalam hal ini tidak mudah untuk mengevaluasi  dengan menghitung . Tetapi terdapat cara lain untuk mengevaluasi limitnya. Karena  untuk semua , maka suku ke-n pada  dari mempunyai relasi aljabar sederhana dengan suku ke-n dari . Berdasarkan Teorema 3.1.9, kita mempunyai , yang mana diikuti dengan Teorema 3.2.3 bahwa                               yang selanjutnya didapatkan .

b.    Misalkan  adalah barisan bilangan riil yang didefinisikan dengan ,  untuk semua . Kita akan menunjukkan bahwa .

Catatan bahwa  dan ; dari sini maka . Kita klaim bahwa  adalah barisan tak turun dan terbatas di atas oleh 2. Untuk membuktikannya kita akan lakukan dengan induksi matematika bahwa  untuk . Dan benar dipenuhi untuk . Misalkan hal ini juga benar dipenuhi untuk , maka , yang diikuti oleh            

[Pada langkah terakhir kita menggunakan contoh 2.1.13(a)]. Dari sini validitas dari ketaksamaaan mengakibatkan kevalidatan dari . Karena itu  untuk semua .

Karena  adalah barisan tak turun dan terbatas, menurut Teorema Konvergensi Monoton bahwa     konvergen ke . Akan ditunjukkan secara langsung bahwa , dengan . Atau alternatif cara lain kita dapat menggunakan metode pada bagian (a). relasi  memberikan relasi antara suku ke n pada  dari dan suku ke n dari . Berdasarkan Teorema 3.1.9 kita mempunyai . Lebih dari itu menurut Teorema 3.2.3 dan 3.2.10, limit  harus mempunyai relasi      .

Karena itu  harus memenuhi persamaan  yang mana mempunyai akar-akar . Karena  semuanya memenuhi , berdasarkan Teorema 3.2.6 bahwa kita mempunyai . Jadi .

The Calculation of Square Roots (Perhitungan Akar Kuadrat)

Sekarang kita memberi sebuah aplikasi dari Teorema Konvergensi Monoton untuk perhitungan akar kuadrat dari bilangan positif.

3.3.5   ContohMisalkan  kita akan mengkonstruksi barisan  yang konvergen ke .

Misalkan  sebarang dan didefinisikan  untuk semua . Kita akan tunjukkan bahwa  konvergen ke . (Proses ini untuk menghitung akar kuadrat yang sudah dikenal di Mesopotamia sebelum  B.C.)

Pertama kita tunjukkan bahwa . Ketika  dibentuk ke persamaan kuadrat , persamaan ini mempunyai akar real. Dari sini diskriminannya  harus tidak negatif, yaitu

Untuk melihat  pada akhirnya tak naik, kita catat bahwa untuk  kita mempunyai

Dari sini,  untuk semua . Menurut Teorema konvergensi monoton  ada. Lebih dari itu, teorema 3.2.3, limit  harus memenuhi , yang mengakibatkan . Jadi .

Untuk perhitungan, sering penting untuk mengestimasi bagaimana cepatnya barisan  konvergen ke . Dari atas, kita mempunyai  untuk semua , dengan mengikuti bahwa . Kemudian kita mempunyai    .

Dengan menggunakan ketaksamaan ini kita dapat menghitung  dengan derajat akurasi yang diinginkan.

Bilangan Euler

Kita simpulkan bagian ini dengan mengenalkan barisan yang konvergen ke bilangan paling ‘transedental’ dalam matematika, kedua setelah π.

3.3.6 Contoh    Misal untuk . Akan kita tunjukkan bahwa  terbatas atau tidak turun, karenanya konvergen. Limit dari barisan  ini adalah Bilangan Euler yang terkenal yang nilainya mendekati yang kemudian dijadikan bilangan pokok logaritma natural.

Jika kita gunakan teorema Binomial, didapat

Ini bisa ditulis sebagai 

Dengan cara serupa didapat

Ingat bahwa notasi  memuat  suku sedangkan  memuat  suku selain itu, masing-masing suku dalam adalah lebih kecil atau sama dengan suku yang bersesuaian dalam  dan  mengandung lebih satu suku positif. Oleh karena itu kita punya , dengan demikian suku suku E naik.

Untuk menunjukkan E terbatas di atas, kita perhatikan jika maka . selain itu  [lihat 1.2.4(e)] sehingga. Oleh karena itu, jika , maka kita punya    

Karena terbukati bahwa [lihat 1.2.4 (f)]                                              

Kita simpulkan  untuk semua . Menurut teorema konvergensi monoton, kita peroleh bahwa barisan E konvergen ke suau bilangan real antara 2 dan 3. Kita definisikan  merupakan limit barisan ini.

Dengan penghalusan estimasi kita dapat menemukan bilangan yang dekat dengan  tetapi kita tidak dapat menghitungnya secara eksak, karena  adalah suatu bilangan irrasional.Akan tetapi mungkin untuk menghitung  sampai beberapa tempat desimal yang diinginkan. Pembaca boleh menggunakan kalkulator atau komputer untuk menghitung  dengan  nilai yang besar

Comparison tests

akan ditunjukan bahwa jika deret nonnegatif dari suatu persamaan adalah mendominasi karena memiliki hubungan dengan deret konvergen, maka deret pertama adalah konvergen.

3.3.7 comparison text Misalkan  dan  suatu barisan real dan andaikan   berlaku:

(8)

,Untuk

(a)            Jika  konvergen, maka    konvergen

(b)          Sehingga jika Divergen , maka divergen

Bukti:

(a)    Andaikan  konvergen dan, diberikan misalkan  seemikian hingga jika maka:        Jika  maka,             Yang mana konvergen dari  mengikuti

(b)   Pernyataan ini adalah kontrapositif dari (a).

Bila dalam menentukan pertidaksamaan (8) sangat sulit, akibatnya (b) berlaku.