matematika: bilangan riil

BILANGAN RIIL ?

Sifat-Sifat Aljabar pada R

Pada himpunan R dari bilangan-bilangan riil terdapat dua operasi biner yang dilambangkan dengan + dan . dimana masing-masing disebut penjumlahan dan perkalian. Operasi-operasi itu memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

(A1) (sifat komutatif pad penjumlahan)

a + b = b + a, untuk setiap a, b di R

(A2) (sifat asosiatif pada penjumlahan)

(a + b) + c = a + (b + c), untuk setiap a, b, c di R

(A3) (keberadaan/eksistensi sebuah elemen nol)

Terdapat sebauh elemen 0 di R sedemikian hingga 0 + a = a dan a + 0 = a, untuk setiap a di R

(A4) (keberadaan/eksistensi elemen negatif)

Untuk setiap a di R terdapat sebuah elemen – a di R

sedemikian hingga a + (-a) = 0 dan (-a) + a = 0

BILANGAN RIIL ?

Sifat-Sifat Aljabar pada R

(M1) (sifat komutatif dari perkalian) a.b = b.a, untuk setiap a, b di R

(M2) (sifat asosiatif dari perkalian)

(a.b).c = a.(b.c), untuk setiap a, b, c di R

(M3) (keberadaan/eksistensi sebauh elemen satuan)

Terdapat sebuah elemen 1 di R yang berbeda dengan 0

sedemikian hingga 1.a = a dan a.1 = a

(M4) (keberadaan/eksistensi elemen kebalikan pada perkalian)

untuk setiap a ¹ 0 di R terdapat sebuah elemen 1/a di R

sedemikian hingga a. 1/a = 1 dan 1/a .a = 1

(D1) (sifat distributif kiri dari perkalian terhadap penjumlahan)

a.(b + c) = (a.b) + (a.c), untuk setiap a, b, c di R

(D2) (sifat distributif kanan dari perkalian terhadap penjumlahan)

(b + c).a = (b.a) + (c.a), untuk setiap a, b, c di R

Teorema I:

(a) Jika z, a Î R

sedemikian hingga z + a = a, maka z = 0.

(b) Jika u, b Î R dan b ¹ 0

sedemikian hingga jika u.b = b, maka u = 1.

Bukti: Bagian (a)

Dari sifat (A4), a + (-a) = 0. Jika kedua ruas dari hipotesa

z + a = a

ditambah (-a) diperoleh:

(z + a) + (-a) = a + (-a)

(z + a) + (-a) = 0 (A4)

z + (a + (-a)) = 0 (A2)

z + 0 = 0 (A4)

z = 0 (A3)

Bukti: Bagian (b)

Dari sifat (M4), b.1/b = 1. Jika kedua ruas dari hipotesa

u.b = b

dikali 1/b diperoleh:

(u.b).1/b = b.1/b

(u.b).1/b = 1 (M4)

u.(b. 1/b) = 1 (M2)

u.1 = 1 (M4)

u = 1 (M3)

Teorema II:

(a) Jika a, b Î R

sedemikian hingga a + b = 0, maka b = -a.

(b) Jika a, b Î R dan a ¹ 0

sedemikian hingga a.b = 1 maka b = 1/a

Bukti:Bagian (a)

Dari sifat (A3) dan (A4), yakni b = b + 0

dan a + (-a) = 0, maka diperoleh:

b = b + 0 (A3)

b = b + (a + (-a)) (A4)

b = (b + a) + -a (A2)

b = (a + b) + -a (A1)

b = 0 + -a (hipotesa)

b = -a (A3)

Jadi terbukti: jika a + b = 0 Þ b = -a.

Bukti:Bagian (b)

Dari sifat (M3) dan (M4), yakni b = b.1 dan a.1/a = 1, maka diperoleh:

b = b.1 (M3)

b = b.(a.1/a) (M4)

b = (b.a).1/a (M2)

b = (a.b).1/a (M1)

b = 1.1/a (hipotesa)

b = 1/a (M3)

Jadi terbukti: a.b = 1 Þ b = 1/a.

Teorema III:

Misalkan a, b Î R sembarang. Maka

(a) Persamaan a + x = b mempunyai penyelesaian

tunggal x = (-a) + b.

(b) Jika a ¹ 0, persamaan a.x = b

mempunyai penyelesaian tunggal x = 1/a.b.

Bukti:Bagian (a)

Misalkan x = (-a) + b adalah penyelesaian dari a + x = b, maka

a + x = a + ((-a) + b) (x = (-a) + b)

= (a + (-a)) + b (A2)

= 0 + b (A4)

= b (A3)

hal ini munjukkan bahwa x = (-a) + b merupakan penyelesaian dari a + x = b.

Bukti: (lanjutan Bagian (a))

Kemudian akan ditunjukkan ketunggalan-nya, misalkan ada pemecahan lain x₁ merupakan penyelesaian dari a + x = b, yaitu: a + x₁ = b, maka diperoleh

x₁ = x ₁+ 0 (A3)

= x₁+ (a + (-a)) (A4)

= (x₁ + a) + (-a) (A2)

= (a + x₁) + (-a) (A1)

= b + (-a) (a + x₁ = b)

= (-a) + b (A1)

Karena x₁ = (-a) + b, hal ini menunjukkan bahwa x dan x₁ adalah tunggal.

Bukti: Bagian (b)

Misalkan x = 1/a. b adalah penyele-saian dari a.x = b, maka

a.x = a.(1/a.b) (x =1/a.b)

= (a.1/a).b (M2)

= 1. b (M4)

= b (M3)

hal ini munjukkan bahwa x =1/a.b merupakan penyelesaian dari a.x = b.

Bukti: (Lanjutan Bagian (b))

Kemudian akan ditunjukkan ketung-galannya, misalkan ada pemecahan lain x₂, yaitu a.x₂ = b, maka dipero-leh

x₂ = x₂.1 (M3)

= x₂.(a.1/a) (M4)

= (x₂.a).1/a (M2)

= (a.x₂).1/a (M1)

= b.1/a (a.x₁ = b)

= 1/a.b (M1)

Karena x₂ = 1/a.b, hal ini menunjuk-kan x dan x₂ adalah tunggal.

Teorema IV: (Penggunaan Sifat Distributif)

Misalkan a Î R sembarang, maka

(a) a.0 = 0

(b) (-1). a = -a

(d) (-1).(-1) = 1

Bukti: Bagian (a)

Dari sifat (M3), yakni a.1 = a. Maka diperoleh

a + a.0 = a.1 + a.0 (M3)

a + a.0 = a.(1 + 0) (D1)

a + a.0 = a.1 (A3)

a + a.0 = a (M3)

a.0 = (-a) + a (teorema ?)

= 0 (A4)

Bukti: Bagian (b)

a + (-1)a = 1.a + (-1)a (M3)

a + (-1)a = (1 + (-1))a (D2)

a + (-1)a = 0.a (A4)

a + (-1)a = 0 (teorema ?)

(-1)a = (-a) + 0 (teorema ?)

(-1)a = -a (A3)

Bukti: Bagian (c)

Dari sifat (A4), yakni (-a) + a = 0. Maka diperoleh

-(-a) + 0 = -(-a) + ((-a) + a) (A4)

-(-a) = (-(-a) + (-a)) + a (A3, A2)

-(-a) = 0 + a (A4)

-(-a) = a (A3)

Bukti: Bagian (d)

(-1).a = -a (teorema ?)

(-1).(-1) = -(-1) (ambil a = -1)

= 1 (teorema?)

Teorema V:

Hasil Penting dari Sifat Aljabar)

Misalkan a, b, c Î R sembarang.

(a) jika a ¹ 0 maka 1/a ¹ 0 dan 1/(1/a) = a.

(b) jika a.b = a.c, a ¹ 0 maka b = c.

Bukti: Bagian (a)

Dari sifat (M4), jika diberikan a ¹ 0 maka terdapat 1/a di R. Andaikan 1/a = 0, dari teorema ? diperoleh a.1/a = 0. Dilain pihak dari sifat (M4) ini juga a.1/a = 1, ini mengakibatkan bahwa 0 = 1, hal ini kontradiksi dengan (M3), yaitu 1 ¹ 0.

Karenanya pengandaian 1/a = 0 salah.

Jadi haruslah 1/a ¹ 0.

Dan karena 1/a ¹ 0, serta 1/a.a = 1, maka menurut teorema ?, a = 1/(1/a). (terbukti)

Bukti: Bagian (b)

Jika a.b = a.c, dari teorema ?, maka b = 1/a.(a.c). Akibatnya

b = (1/a.a).c (M2)

b = 1.c (M4)

b = c (M3)

(terbukti)

Bukti: Bagian (c)

Jika a ¹ 0 dan a.b = 0, maka diperoleh a.b = 0

= a.0 (teorema ?)

Jadi a.b = a.0.

karena a ¹ 0 dan a.b = a.0, maka

b = 0 (teorema ?)

Dengan cara yang sama, jika b ¹ 0 dan a.b = 0 maka diperoleh

a.b = 0

= 0.b (teorema ?)

karena b ¹ 0 dan a.b = 0.0, maka

a = 0 (teorema ?)

Jadi dapat disimpulkan, jika a.b = 0 maka

a = 0 atau b = 0. (terbukti)

Teorema:

Tidak terdapat sebuah bilangan rasional r sedemikian hingga r² = 2.

Bukti:

(Dengan kontradiksi), andaikan tidak demikian, berarti terdapat r di Q sedemikian hingga r² = 2. r di Q sehingga dapat ditulis dalam bentuk p/q dimana p, q di Z dan q ¹ 0, serta asumsikan p dan q tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1. (jika p dan q mempunyai faktor persekutuan selain 1 berarti p dan q dapat dibagi dengan faktor sekutu tersebut tanpa mengubah nilai p/q). Akibatnya diperoleh

2 = r²

= (p/q)²

= p²/q² atau

p² = 2 q²

karena p² = 2 q²maka p²genap. Akibatnya p juga genap (karena jika p ganjil, misalkan p = 2n + 1, nÎZ maka p² = (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1 ganjil). karena diasumsikan tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1 dan p genap maka haruslah q ganjil. Misalkan p = 2n, nÎZ maka 2q²= 4n². Sehingga q² = 2n² genap, akibatnya q genap, hal ini terjadi pertentangan dengan q ganjil. Jadi pengandaian r adalah bilangan rasional haruslah dingkari, yaitu tidak terdapat r di Q sedemikian r² = 2.

Latihan ???(pr)

1. Selesaikan dan sederhanakan persa-maan berikut, jelaskan kebenaran setiap langkah dengan sifat-sifat dan teorema yang digunakan

(a) 2x + 5 = 8 (b) 2x + 6 = 3x + 2

2. Buktikan bahwa jika a, b di R, maka

(a) –(a + b) = (-a) + (-b)

(b) (-a).(-b) = a.b

(d) –(a/b) = (-a)/b, jika b ¹ 0

3. Jika a di R memenuhi a.a = a, buktikan hanya

dipenuhi a = 0 atau a = 1.

4. Jika a ¹ 0 dan b ¹ 0, tunjukkan bahwa

1/(ab) = (1/a).(1/b).

5. Gunakan argumentasi untuk menunjukkan bahwa tidak terdapat bilangan rasional s sedemikian hingga s² = 6.

6. Dengan modifikasi dari argumentasi, tunjukkan bahwa tidak terdapat bilangan rasional t sedemikian hingga t³ = 3.

7. Tunjukkan bahwa jika s di R adalah bilangan irrasional dan r ¹ 0 bilangan rasional, maka

(a) r + s bilangan irrasional

(b) rs bilangan irrasional.

8. Jika x dan y bilangan-bilangan rasional, tunjukkan

(a) r + s bilangan rasional

(b) rs bilangan rasional.

9. Misalkan B adalah sebuah operasi biner pada

R. Katakan bahwa B:

(i) komutatif jika B(a, b) = B(b, a), "a, b Î R

(ii) assosiatif jika B(a, B(b, c)) = B(B(a, b), c)

"a, b Î R

(iii) mempunyai sebuah identitas jika terdapat

sebuah elemen e di R sedemikian hingga

B(a, e) = a = B(e, a) untuk semua a di R.

Tentukan mana dari sifat-sifat di atas dipenuhi untuk operasi biner, yang didefinisikan untuk semua a, b di R, dengan

(a) B₁(a, b) = (a + b) (b) B₂(a, b) = (ab)

Bukti: Bagian (c)

Jika a ¹ 0 dan a.b = 0, maka diperoleh

a.b = 0

= a.0 (teorema ?)

Jadi a.b = a.0.

karena a ¹ 0 dan a.b = a.0, maka

b = 0 (teorema ?)

Dengan cara yang sama, jika b ¹ 0 dan a.b = 0 maka diperoleh

a.b = 0

= 0.b (teorema ?)

karena b ¹ 0 dan a.b = 0.0, maka

a = 0 (teorema ?)

Jadi dapat disimpulkan, jika a.b = 0 maka

a = 0 atau b = 0. (terbukti)

matematika

Sabtu, 23 Mei 2015

bilangan riil

Tidak ada komentar:

Posting Komentar