anriil 2 (Subbarisan dan Teorema Bolzano- Weierstrass)

3.4 Subbarisan dan Teorema Bolzano- Weierstrass

            Dalam bagian ini kita memperkenalkan gagasan subbarisan dari barisan bilangan real. Secara tidak resmi, sebuah subbarisan dari sebuah barisan merupakan sebuah pilihan syarat-syarat dari barisan yang diberikan sedemikian hingga syarat-syarat yang dipilih tersebut membentuk sebuah barisan baru. Biasanya pilihan tersebut dibuat untuk sebuah tujuan tertentu. Misalnya, subbarisan sering digunakan dalam pembuktian barisan konvergen atau pun divergen. Kita juga akan membuktikan Teorema Bolzano- Weierstrass, yang akan digunakan untuk memperkenalkan sejumlah hasil akibatnya.

3.4.1 Definisi   Misalkan X = (x_n) barisan dan , barisan bilangan asli yang naik. Maka barisan  yang diberikan oleh              Disebut subbarisan dari X.

Sebagai contoh, jika , maka dengan syarat indeks genap menghasilkan subbarisan sebagai berikut                   Dimana . Subbarisan lain dari X = (1/n) adalah sebagai berikut:                       

Sedangkan yang berikut ini bukan subbarisan dari X = (1/n):

Sebuah ekor barisan merupakan sebuah tipe yang spesial dari subbarisan. Pada kenyataannya, ekor-m bersesuaian dengan barisan yang ditentukan dengan                                 

Tetapi, tidak setiap subbarisan merupakan ekor barisan.

            Subbarisan dari barisan konvergen juga konvergen ke limit yang sama, seperti yang akan kita tunjukkan berikut.

3.4.2 Teorema Jika suatu barisan bilangan real X = (x_n) konvergen ke suatu bilangan real x, maka sebarang subbarisan  dari X juga konvergen ke x.

Bukti:Misalkan  diberikan dan pilih bilangan asli K( ) sedemikian hingga jika n ≥ K( ), maka . Karena  adalah barisan bilangan real yang naik, maka dapat dibuktikan (dengan induksi) bahwa . Dari sini, jika k ≥ K( ), kita juga mempunyai
, dengan demikian . Oleh karena itu subbarisan ( ) juga konvergen ke x.

3.4.3 Beberapacontoh

(a).  bila

            Kita telahmelihat, padaContoh 3.1.11 (c), bahwabila  dan bila , makadariKetidaksamaan Bernoulli diperolehbahwa . Cara lain, kitamelihatbahwakarena , maka dengandemikian adalahbarisanturun. Jelasjugabahwa , sehinggamenurutTeoremaKonvergensiMonoton 3.3.2 barisantersebutkonvergen. Misalkan . Karena  subbarisandari menurutTeorema 3.4.2 maka . Di lain pihakkarena , menurutTeorema 3.2.3 diperoleh

Olehkarenaitukitamestimempunyai atau . Karena barisanturundanterbatas di atasoleh 1, makaharuslah .

(b). untuk .

            Limit initelahdiperolehdalamcontoh 3.1.11 (d) untuk , denganpemikiran argument yang banyakdiakal-akali. Disinikitamelihatpendekatan lain untukkasus . Perhatikanbahwajika , maka  dan untuksemua . JadidenganmenggunakanTeoremaKonvergensiMonoton,  ada.Menurutteorema 3.4.2, berlaku . Di lain pihak, karena    

Dan teorema 3.2.10, maka       .

Karenaitu  yang menghasilkan atau . Karena  untuk semua , makaharuslah .

            Untukkasus , kitatinggalkansebagailatihan.

            Kegunaansubbarisanmembuatnyamudahuntukmenyajikanujidivergensisuatubarisan.

3.4.4 KriterianDivergensi. Misalkan suatubarisan.

Makapernyataanberikutekivalen :

(i)                 Barisan tidakkonvergenke .

(ii)               Terdapat  sehingga untuk sebarang , terdapat sehingga  dan

(iii)             Terdapat  dan subbarisan dari  sehingga  untuk semua .

. Bila tidakkonvergenke x, makauntuksuatu  tidak mungkin memperoleh bilangan sehingga 3.1.b (c) dipenuhi.Yaitu, untuksebarang  tidak benar bahwa untuk semua sehingga .

. Misalkan sepertipada (ii) danmisalkan  sehingga dan . Sekarangmisalkan  sehingga dan ; misalkan dan .

. Mislakan  mempunyai subbarisan memenuhikondisi (iii); maka X tidakmungkinkonvergenke x. Karenaandaikandemikian, makamenurutTeorema 3.4.2 subbarisan X’ jugaakankonvergenke x. tetapiinitidakmungkinsukudari x’ termuatdilingkungan dari .

3.4.5. KriteriaDivergen

Misalkan X = suatu barisan.makapernyataanberikutekivalen :

(i)     X adalahdua sub-barisan yang konvergen,  dan , , mempunyai limit yang tidak sama

(ii)   X tidakterbatas

3.4.6. Contoh

(a) Barisan divergen .

Ada sub-barisan  konvergen ke 1, dan sub-barisan  konvergen ke -1. Maka menurut teorema 3.4.5 (i) bahwa X adalah barisan divergen.

(b) Barisan adalah divergen.

Kita dapatmendefinisikanbarisaninidengan Y = (y_n), yang manay_n= n , bila n ganjildany_n=  , bila n genap. Maka dengan mudah dapat dilihat bahwa barisanini (Y)tidakterbatas. Menurutteorema 3.4.5 (ii) barisaninidivergen.

(c) BarisanS := (sin n) adalahdivergen

Barisantersebuttidakmudahuntukditangani. Dengankesepatankitaharusdanpastimemakaidasar- dasardarifungsi sin. Kita tau bahwa , dan bahwa sin x >  untuk x berada diinterval . Karena itu, intervalbarisandari , maka hanya terdapat dua natural number yang tidakdiketahui di  , kitaambiln_imenjadiangkapertama. Dengancara yang sama, untuk , sin x > untukx adadalam interval

Karenaitu, jumlahsukubarisandari  adalah lebih dari dua, barisan tersebut adalah dua natural number yang tidak diketahui di , kita ambil  menjadi angka pertama. Sub-barisan S’:=(sin ) dariS diperolehdariapapunitu yang berada di interval [ ].

Dengancara yang sama, jika  dan  adala dalam interval      

Makadapatdilihatbahwa sin x<  untuk setiap x  dan jumlah suku dari barisan  lebih dari dua. Kita ambil  menjadi angka pertama natural number yang tidak diketahui di . Maka, sub-barisan S”:=(sin ) dariS diperolehdariapapunitu yang berada di interval [ ].

Diberikanbeberapa real number c, adalahsalahsatu sub-barisan di S’ danS”terdapatdiluardari  persekitaran di c. Makadariitu, c tidakdapatdikatakan limit dariS. maka, c R, makadapatdisimpulkanbahwaS adalahdivergen.